1.研究背景
合金凝固组织的形态、尺寸和分布等特征主导着材料的最终性能。要理解凝固组织如何形成，就需要准确描述枝晶的生长方向、溶质分布以及枝晶臂之间的竞争。
元胞自动机（CA）方法规则简洁、计算效率高，是凝固组织模拟的重要工具。但它面临一个长期问题：网格的固有属性引发枝晶生长的各向异性。对于具有六重对称特征的镁合金，模拟不同择优取向的枝晶尤其困难。相场方法较易处理复杂界面，但需要较细的网格，计算量较大。
大连理工大学汤思璠、王旭东等借鉴相场模型中梯度能项的处理思路，提出了场变量扩散元胞自动机（FCA）模型。研究以Mg-6%Al 合金（质量分数）为对象，在二维正方形网格上验证六重对称枝晶的取向、生长动力学以及多枝晶演化行为。
相关研究成果以“六重对称合金枝晶生长场变量扩散元胞自动机模型”为题目发表于金属学报期刊2025年第61卷。论文作者为汤思璠、魏晶晶、岳怡心、李鹏宇、姚曼和王旭东*。
2.引入相场梯度能项概念，削弱网格各向异性
传统CA模型通过元胞捕获和固相分数更新推进界面，元胞形状、邻域设置及捕获规则容易引入人为各向异性。在相场模型中，相场变量用于描述变量在空间中的分布及特征，状态分布的空间变化速率和特征可以用场变量的梯度描述。受此启发，在枝晶生长CA模型中，表征元胞固、液平衡状态的固相分数(fs)在0~1内连续变化。因此，作者从元胞的凝固状态出发，定义场变量：固相元胞取 1，液相元胞取 0，界面元胞介于0到1之间；随后构造场变量梯度泛函，推导扩散方程。
将元胞状态场的梯度扩散引入CA生长动力学，利用场变量扩散项对界面元胞固相分数的计算进行修正，以此来弱化元胞离散属性及尖锐界面模型导致的各向异性。
图1和2分别为采用Von Neumann型和Moore型邻胞，二维CA模型在不同迭代次数下得到的演化形貌，图中的白色虚线圆为参考曲线。可以看出，与原始的二维CA模型相比，引入场变量扩散项可以得到近似圆形的演化形貌，且Moore型邻胞的模拟结果优于Von Neumann型邻胞。
原文图1｜Von Neumann型邻胞2种模型模拟结果：上排为原始CA 模型，下排为 FCA 模型。恒定基础生长速率的算例中，形貌由明显的方形趋近圆形。
原文图2｜Moore型邻胞2种模型模拟结果：上排为原始CA 模型，下排为 FCA 模型。与原始的二维CA模型相比，引入场变量扩散项可以得到近似圆形的演化形貌，且Moore型邻胞的模拟结果优于Von Neumann型邻胞。
FCA模型显著弱化了原始CA模型中的各向异性，近似实现了各向同性的界面演化。值得一提的是，引入场变量扩散项虽然增加了计算量，但计算流程简洁，可以通过算法优化及并行计算加快计算速率，也易于扩展至三维模型。
3.设置择优取向，六重枝晶仍能保持相近形貌
基于场变量扩散方程，建立了溶质传输驱动的二元合金枝晶生长CA模型。采用“浓度势法”处理溶质扩散和再分配，利用杠杆定律处理界面凝固/重熔的生长动力学，并将场变量扩散项引入 CA 模型对界面胞的生长速率进行修正。
基于以上建立的模型与计算程序，对等温凝固条件下单个枝晶生长的结果进行验证和分析。作者在过冷度20 K、凝固时间0.455 s 的条件下，设置0°、15°、36°和45°四种择优取向，模拟了具有六重对称特征的Mg-6%Al合金的枝晶形貌。结果显示，主枝晶臂均沿预设方向生长，枝晶尺寸基本一致，六重对称特征得以保留。
为了进一步检验取向依赖性，作者把不同取向的枝晶旋转到同一方向，比较0.195 s 和0.455 s 时的形貌。各枝晶整体轮廓基本重合，主枝晶臂的长度和生长速率基本一致；侧枝粗壮程度仍有小幅差异，与枝晶间液相的溶质富集有关。
原文图4；5｜从（a）至（d）依次为0°、15°、36°和45°。颜色表示 Al 的质量分数；不同取向枝晶经旋转后，整体形貌基本重合。
4.枝晶尖端稳态特征生长动力学验证
在过冷度∆T=5 K，凝固时间t=2.08 s的计算条件下，模拟得到合金枝晶形貌及浓度场分布。下方的黑色曲线为x方向主枝晶臂的溶质浓度。可以看出，枝晶形貌及浓度场的分布都是对称的。在主枝晶臂方向，固相溶质浓度基本相同，固-液界面浓度处突然增加，形成了溶质富集的边界层，随后逐渐降低至初始浓度。由于过冷度较小，未出现二次枝晶臂。
原文图6｜Mg-6%Al合金枝晶形貌模拟与水平方向主枝晶臂浓度。
等温凝固过程中，固-液界面的运动是由界面前沿溶质浓度差异引起的溶质扩散所驱动的。初始阶段，液相溶质浓度为初始浓度，固液界面前沿溶质富集的程度较低，溶质浓度低且过冷度较高，因此，枝晶尖端以相对较高的速度开始生长；随着凝固进行，由溶质再分配释放的溶质富集在固-液界面，固相排出的溶质在固-液界面前沿不断积累，枝晶尖端前沿的浓度迅速增加，导致合金液相线温度降低，过冷度减小，故生长速度降低；最后溶质在界面前沿的释放与通过扩散的传输达到动态平衡，枝晶尖端逐渐达到稳态生长阶段。原文图7显示，约在 3.0 s 时，尖端生长速率稳定在54.95 μm/s，尖端半径约为1.92 μm，尖端 Al 浓度约为6.91%。
原文图7｜（a）尖端生长速率；（b）尖端半径；（c）尖端溶质浓度。过冷度为5 K。
原文图8｜红色数据点为 FCA 结果，黑色曲线为LGK 预测；上图为尖端半径，下图为尖端生长速率。
作者还将不同过冷度下的结果与 Lipton–Glicksman–Kurz（LGK）模型比较。两者均呈现：过冷度越大，稳态生长速率越高，尖端半径越小。需要说明的是，LGK模型仅求解枝晶尖端形状，未考虑枝晶臂演化和界面曲率对生长速率的影响，枝晶尖端半径的计算和确定方法本身就存在一定偏差，故低过冷度下本模型计算得到的尖端生长速度高于LGK模型；随着过冷度增大，情况相反。
因此，FCA模型能够描述由溶质富集控制的尖端稳态生长，其预测的过冷度变化趋势与 LGK 模型大致一致。
5.从单枝晶到多枝晶组织生长竞争与粗化
为验证模型对六重对称合金枝晶生长模拟的适用性，作者分别对等温凝固和连续冷却下的Mg-6%Al合金的枝晶形貌进行模拟，首先模拟了等温凝固条件下单个等轴枝晶的生长，然后模拟了多个等轴晶的枝晶生长过程。
等温凝固：六个主枝晶臂对称发展。在过冷度 8 K 时，单个等轴枝晶的六个分支保持约60°夹角，长度基本一致。随时间推进，枝晶臂粗化，溶质扩散区域逐渐增大。枝晶尖端排出的溶质沿其生长方向和周围两侧扩散，而枝晶臂粗化排出的溶质只能向两侧扩散，故枝晶尖端溶质浓度低于主枝晶臂两侧浓度，进而获得了较大的过冷度，生长速度加快。在枝晶根部，枝晶臂交汇造成溶质富集，枝晶生长受到抑制，根部出现“颈缩”现象。
需要指出，如果利用经典的正方形元胞CA模型计算六重枝晶的生长行为，不仅计算中的处理十分繁琐，且不同择优取向枝晶的生长速度也会出现较大的差异。与之相比，本模型模拟得到的6个枝晶臂长度相等，侧枝角度对称，与相场法得到的结果基本一致。
原文图9｜从（a）至（f）依次为 0.16、0.28、0.40、0.52、0.64 和0.76 s，Mg-6%Al合金枝晶形貌及溶质浓度随时间演化。
连续冷却：相邻枝晶通过溶质场相互影响。作者在初始过冷度12 K、冷却速率9 K/s 下，分别设置8个和30个晶核。初期枝晶沿各自择优取向生长，随后溶质场相互叠加，溶质在枝晶臂间熔体内进一步富集，导致溶质扩散及尖端生长受到明显抑制，后期Gibbs-Thomson效应导致枝晶臂粗化。晶粒数目为30时的枝晶生长规律与晶粒数目为8时基本相同，但由于枝晶的相互阻碍作用较强，二次枝晶臂的发展被抑制。
原文图10｜上排为8 个晶核，下排为30个晶核；从左到右为0.48、2.64、5.60和10.00 s，Mg-6%Al合金等轴晶形貌及溶质浓度分布随时间演化。颜色表示Al的质量分数。
定向凝固：取向有利，仍可能在竞争中被淘汰。在温度梯度10000 K/m、抽拉速率0.001 m/s 的条件下，计算域底部设置 19 个不同取向的晶核。凝固初期，所有枝晶均沿其择优生长方向发展，与温度梯度方向相近的主枝晶臂生长速度较快。随着凝固的进行，出现“竞争生长”现象。择优取向与温度梯度方向相近的枝晶继续生长，主枝晶臂两侧出现了不同程度的侧向分支；由于相邻枝晶的影响，择优取向不利的主枝晶臂生长均受到抑制。最终仅有5个枝晶的主枝晶臂继续生长，二次枝晶臂的发展也较完全，且与主枝晶臂间的夹角为60º。
原文图11｜从（a）至（d）依次为 0.16、0.56、1.04 和1.44 s，Mg–6%Al合金定向凝固柱状晶形貌随时间的模拟结果；红框标示局部“颈缩”。
6.结论
通过引入考虑元胞状态变量的场变量梯度泛函及场变量扩散方程，建立了基于场变量扩散的二元合金枝晶生长CA模型，对界面元胞的生长行为进行修正，对具有六重对称合金的枝晶生长和任意择优取向的枝晶生长过程进行了模拟。采用“浓度势法”处理溶质扩散和再分配，依据杠杆定理处理界面凝固的生长动力学，引入场变量的扩散方程修正界面元胞的生长速度。以Mg-6%Al合金为对象，利用模型对不同凝固条件下的枝晶形貌、稳态特征等进行计算和分析验证。
其验证覆盖了形貌、尖端动力学和多枝晶演化三个层面：不同取向枝晶的主枝晶臂尺寸基本一致；尖端速率和半径随过冷度的变化趋势与 LGK 模型大致相符；等温、连续冷却及定向凝固算例能够呈现溶质富集、枝晶竞争、粗化和颈缩等现象。
这项工作实现了二维平面正方形网格离散方式下，六重对称合金和任意择优取向枝晶生长形貌的计算模拟，原理清晰、易于并行，为元胞自动机法推广至合金凝固组织的三维和跨尺度模拟研究提供参考。
